N = a2
+ b2 = c2 + d2
Aunque la factorización algebraica de números binomiales no sirve para factorizar
sumas de dos cuadrados (en efecto un número que se puede expresar de una forma como suma de dos cuadrados
es un número primo) si se pueden hallar dos
representaciones distintas de
un número como suma de dos cuadrados se sigue de ahí una factorización:
Partiendo de N = a2 + b2 = c2 + d2se resta b2 + c2 a ambos lados de la igualdad para crear una diferencia de dos cuadrados:
a2 − c2 = d2 − b2
y de ahí se sigue que:
(a - c) . (a + c) = (d - b) . (d + b)
Supóngase sin pérdida de generalidad que d y b son ambos pares o bien ambos impares, de forma que su diferencia es par. Ahora se define una constante k igual al máximo común divisor de (a − c) y (d − b) de forma que:
(a − c) = kl y (d − b) = km, con mcd(l,m) = 1
de forma que, tras sustituir en la expresión anterior:
l . (a + c) = m . (d + b)
Como l y m son primos entre sí, se sigue que (a + c) es divisible por m,
lo que nos da:
(a + c) = mn y;
(d + b) = ln.
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